函数的单调性

【考点精讲】

性 质 图 象 定 义 增

函

数 设函数f（x）的定义域为I。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。 减

函

数 设函数f（x）的定义域为I。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间。

【典例精析】

　　例题1 利用单调性定义证明：函数f（x）=在其定义域内是增函数。

　　思路导航：本题是利用单调性定义证明函数单调性的一个典型例子，由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明。

　　答案：证明：证法一：函数f（x）=的定义域是x∈［1，+∞），任取x1、x2∈［1，+∞）且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=－

　　=。

　　∵x1、x2∈［1，+∞），且x1＜x2，∴+＞0，x2－x1＞0。

　　∴f（x1）＜f（x2），即函数f（x）=在其定义域上是增函数。

　　证法二：函数f（x）=的定义域是x∈［1，+∞ ，任取x1、x2∈［1，+∞）且x1＜x2，则，

　　∵x1、x2∈［1，+∞），且x1＜x2，∴0≤x1－1＜x2－1。

　　∴0≤＜1。∴＜1。∵f（x2）=＞0，∴f（x1）＜f（x2）。

　　∴函数f（x）=在其定义域［1，+∞）上是增函数。

点评：函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的。用定义证明函数的单调性的基本步骤是"取值--作差（或作商）--变形--定号--判断"。当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用"作商判1"的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法。解决带根号的问题，常用的方法就是将分子、分母有理化。从形式上看是