2.4 正态分布

课堂探究

　　探究一 正态分布的概念与正态曲线

　　解决此类问题要正确理解正态分布的概念及正态密度函数解析式的特点．

　　(1)用待定系数法求正态变量的概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．

　　(2)当x＝μ时，正态变量的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝为最大值，并注意该式在解题中的应用．

　　【典型例题1】 如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态变量的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．

　　思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．

　　解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，则σ＝.

　　所以概率密度函数的解析式是f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)．

　　总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.

　　探究二 正态分布中的概率计算

　　解决正态分布概率求解问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，并结合正态分布的3σ原则求解．

　　【典型例题2】 在某项测量中，测量结果服从正态分布X～N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．

　　思路分析：解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．

解：由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X＜3)＝P(1－2＜X＜1＋2)＝0.683.又因