§1.1 变化率与导数

1．1.1 变化率问题

1．1.2 导数的概念

学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．

知识点一 函数的平均变化率

假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．

自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．

思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？

答案 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.

思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？

答案 对山路AB来说，用Δx(Δy)＝x2－x1(y2－y1)可近似地刻画其陡峭程度．

梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

(1)定义式：Δx(Δy)＝x2－x1(f(x2).