圆的一般方程

　　（一）教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.

　　（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.

　　（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.

　　2．过程与方法

　　通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.

　　3．情感态度与价值观

　　渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.

　　（二）教学重点、难点

　　教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.

　　教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

　　（三）教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 课题引入 　　问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.

　　利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式--圆的一般方程. 让学生带着问题进行思考 设疑激趣导入课题. 概念形成与深化 　　请同学们写出圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.

　　把圆的标准方程展开，并整理：

x2 + y2 -2ax - 2by + a2 + b2 -r2=0.

　　取D = -2a，E = -2b，F = a2 + b2 - r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①

　　这个方程是圆的方程.

　　反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

　　把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得

②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？

　　（1）当D2 + E2 - 4F＞0时，方程②表示以为圆心，

为半径的圆；

　　（2）当D2 + E2 - 4F = 0时，方程只有实数解，即只表示一个点；

　　（3）当D2 + E2 - 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.

　　只有当D2 + E2 - 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程. 　　整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.

　　圆的一般方程的特点：

　　（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.

　　②没有xy这样的二次项.

　　（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.

　　（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 　　通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.