第一章导数及其应用--小结与复习

一、教学目标：

知识与技能：

1、进一步理导数的概念，掌握导数在研究函数单调性及极值和最值中的应用，完善学生对数的认识。

　2、理解导数和定积分中体现的数学思想"以直代曲"；

过程与方法：

通过复习归纳常见题型，帮助学生形成解题模块。提高解决复数问题的能力。

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.

二、教学重点、难点

　重点：掌握导数的概念及应用，提升问题分析解决能力；

　难点：通过复习提高学生总结知识的能力和习惯。

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用"探究--发现"教学模式．

四、教学过程

教学流程 　　　教师活动 　　学生活动 设计意图 环节一： 1. 知识框图：

问题1：你能用自己的方法，对本章学习的知识

做一梳理总结吗？ 引进知识框图，帮助学生提高对知识的总结归纳能力。. 环节二：

2.概念辨析，完善认知

1）导数

1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，即 ＝ .

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．

2）.几种常见函数的导数公式

3）．判断函数的单调性

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；

(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．

4）．利用导数研究函数的极值要注意

(1)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．

(2)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．

5）求函数的最大值与最小值

求函数最值的步骤

一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

6）．定积分的概念

定积分的思想就是无限分割、以直代曲、求和、

2．定积分的性质

(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；

(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；

(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．

3、典例分析

题型1：求切线方程

【例1】 设函数f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程．

题型2：求函数的单调区间

【例2】（1） 已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性．

（2）. 已知函数f(x)＝mln x＋(m－1)x( m∈R)．

1)当m＝－2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

2)讨论f(x)的单调性．

2）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋m－1＝.

当m≤0时，由x＞0知f′(x)＝＋m－1＜0恒成立，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减；

当m≥1时，由x＞0知f′(x)＝＋m－1＞0恒成立，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；

当0＜m＜1时，由f′(x)＞0，得x＜，由f′(x)＜0，得x＞，

此时，f(x)在区间（0，）内单调递增，在内单调递减．

通过对形成的知识框图，进一步完善其中的知识要点。学生可通过小组交流和自读课本来明确知识要点。

解　f′(x)＝8x－.所以在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝7，

又f(1)＝4＋2＝6，

所以切点的坐标为(1,6)，

所以切线的方程为y－6＝7(x－1)，即y＝7x－1.

解　由题知，f(x)的定

域是(0，＋∞)，

f′(x)＝1＋－＝.

设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.

①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．

1）当m＝－2时，f(x)＝－2ln x－3x，f′(x)＝－－3，所以f′(2)＝－4，

即切线的斜率为k＝－4，又f(2)＝－6－2ln 2，所以，切点为(2，－6－2ln 2)，

于是，切线方程为y＋6＋2ln 2＝－4(x－2)，即4x＋y－2＋2ln 2＝0.

帮助学生提高对知识的总结归纳能力。.

加深对概念的理解。

学生先自主完成，然后由教师引导学生回顾反思，形成题型模块。