2019-2020学年北师大版选修2-3 二项式定理 教案

典例精析

题型一　二项展开式的通项公式及应用

【例1】 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)求证：展开式中没有常数项；

(2)求展开式中所有的有理项.

【解析】由题意得2C·＝1＋C·()2，

即n2－9n＋8＝0，所以n＝8，n＝1(舍去).

所以Tr＋1＝·()·

＝(－)r···

＝(－1)r··(0≤r≤8，r∈Z).

(1)若Tr＋1是常数项，则＝0，即16－3r＝0，

因为r∈Z，这不可能，所以展开式中没有常数项.

(2)若Tr＋1是有理项，当且仅当为整数，

又0≤r≤8，r∈Z，所以 r＝0,4,8，

即展开式中有三项有理项，分别是T1＝x4，T5＝ x，T9＝ x-2.

【点拨】(1)把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质；

(2)应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含x某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n或r后，再求所需的项(要注意n和r的数值范围及大小关系)；

(3) 注意区分展开式"第r＋1项的二项式系数"与"第r＋1项的系数".

所以n＝8，所以通项为Tr＋1＝C(x)8-r ＝，

故r＝6时，T7＝26Cx＝1 792x，