课 题：数系的扩充

教学目标

（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．

教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．

教学过程

一．问题情境

1．情境：

1)数的概念的发展

从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．

①解决实际问题的需要．

由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．

②解方程的需要．

为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．

引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：为例）

2．问题：实数集应怎样扩充呢？

二．建构数学

1．为了使方程有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的"新数"开始．

为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位（）．并作如下规定：

①；

②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．

在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成 ()的形式．