3．2　数学归纳法的应用

　　1.会利用数学归纳法证明一些简单的不等式.

　　2.了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式.

　　贝努利不等式

　　定理：对任何实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥1＋nx．

　　(1)条件减弱，"n∈N＋"，改为"α∈R"，仍有类似不等式(更一般的)形式：

　　①α∈R，且满足α>1或α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x≥－1)．

　　②α∈R，且满足0<α<1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x≥－1)．

　　(2)贝努利不等式的作用：在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1＋x)n缩小为简单的1＋nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用．例如：当x是实数，且x>－1，x≠0时，有贝努利不等式不难得到不等式>1－对一切不小于2的正整数n成立．

　　用数学归纳法证明不等式

　　涉及正整数的不等式，如果其它方法证明比较困难，可考虑用数学归纳法证明，在证第二步n＝k＋1不等式成立时，其它方法(比较法、分析法、综合法、放缩法)常被灵活应用．

　　在贝努利不等式中当x＝0时，n为大于1的自然数，不等式形式将有何变化？

　　提示：当x＝0时，不等式将变成等式，即(1＋x)n＝1＋nx.

　　　贝努利不等式的简单应用

　　设b>a>0，n∈N＋，证明≥(b－a)＋1.

　　[思路点拨]　利用1＋x＝代换为利用贝努利不等式创造条件．

　　[证明]　由b>a>0，知>1，

令1＋x＝(x>0)，