数学人教B选修2-2第二章2.3　数学归纳法

　　1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题．

　　2．理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构．

　　数学归纳法

　　一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝______时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．

　　数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为"归纳奠基"；第二步解决的是延续性问题，又称"归纳递推"．运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下几点：

　　(1)两个步骤缺一不可；

　　(2)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n＝n0，n0＋1等)，证明应视具体情况而定；

　　(3)第二步中，证明n＝k＋1时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；

　　(4)证明n＝k＋1时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n＝k＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．

　　【做一做】对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：

　　(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．

　　(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，

　　则当n＝k＋1时，

　　＝＜＝(k＋1)＋1，

　　∴当n＝k＋1时，不等式成立．

　　上述证法(　　)．

　　A．过程全部正确

　　B．n＝1时验证不正确

　　C．归纳假设不正确

　　D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

　　1．利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？

　　剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即n＝k＋1时命题为什么成立？n＝k＋1时命题成立是利用假设n＝k时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则n＝k＋1时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．

　　(2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．

　　2．运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？

　　剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．

(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就