古典概型的特征和概率计算公式 教案

典例精析

题型一　古典概率模型的计算问题

【例1】一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)，

轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类10辆.

(1)求z的值；

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,

【解析】(1)依题意知，从每层抽取的比率为，从而轿车的总数为50×40＝2 000辆，所以z＝2 000－100－150－300－450－600＝400.

(2)由(1)知C类轿车共1 000辆，又样本容量为5，故抽取的比率为，即5辆轿车中有2辆舒适型、3辆标准型，任取2辆，一共有n＝10种不同取法，记事件A：至少有1辆舒适型轿车，则事件表示抽取到2辆标准型轿车，有m′＝3种不同取法，从而事件A包含：基本事件数为m＝7种，所以P(A)＝.

【点拨】利用古典概型求事件的概率时，主要弄清基本事件的总数，及所求事件所含的基本事件的个数.

【变式训练1】已知△ABC的三边是10以内(不包含10)的三个连续的正整数，求任取一个△ABC是锐角三角形的概率.

【解析】依题意不妨设a＝n－1，b＝n，c＝n＋1(n＞1，n∈N)，从而有a＋b＞c，即n＞2，所以△ABC的最小边为2，要使△ABC是锐角三角形，只需△ABC的最大角C是锐角，cos C＝＝＞0，所以n＞4，

所以，要使△ABC是锐角三角形，△ABC的最小边为4.另一方面，从{2,3,4，...，9}中，"任取三个连续正整数"共有6种基本情况，"△ABC是锐角三角形"包含4种情况，故所求的概率为＝.