导数在研究函数中的应用

一、函数的单调性与导数：

　　1． 函数的导数与函数的单调性的关系：

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像

可以看到：

y=f(x)=x2－4x+3 切线的斜率 f′(x) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0

在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

2．利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1) 确定函数f(x)的定义域；

(2) 求出函数的导数；

(3) 解不等式f (x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．

　　 类型一：函数的单调性与导数：

　　例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

　　解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2．

　　令2x－2＞0，解得x＞1．

　　∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．

　　令2x－2＜0，解得x＜1．

∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．