1.3.2"杨辉三角"与二项式系数的性质

课堂导学

三点剖析

一、有关系数和的问题

【例1】设（2x）100=a0+a1x+a2x2+...+a100x100,求下列各式的值：

（1）a0;

（2）a1+a2+...+a100;

（3）a1+a3+a5+...+a99;

（4）（a0+a2+...+a100）2-（a1+a3+...+a99）2.

解：（1）由（2x）100展开式中的常数项为·2100,即a0=2100,或令x=0,则展开式可化为a0=2100.

（2）令x=1，可得

a0+a1+a2+...+a100=（2）100,①

∴a1+a2+...+a100=（2）100-2100.

（3）令x=-1,可得

a0-a1+a2-a3+...+a100=（2+）100.②

与x=1所得到的①联立相减可得，

a1+a3+...+a99=.

（4）原式=［（a0+a2+...+a100）+（a1+a3+...+a99）］［（a0+a2+...+a100）-（a1+a3+...+a99）］

=（a0+a1+a2+...+a100）（a0-a1+a2-a3+...+a98-a99+a100）

=（2-）100（2+）100=1.

温馨提示

本题采用了赋值法求各项系数之和.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+...+anxn，则f（x）展开式各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0+a2+a4+...=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+...=.

二、系数最大项问题

【例2】已知在（-）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.

（1）求n;

（2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.

解析：（1）因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n是偶数，第6项即为中间项，