课堂探究

探究一 向量数量积的计算

　　求平面向量的数量积时，常用到以下结论：

　　(1)a2＝|a|2；

　　(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；

　　(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；

　　(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．

　　同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件．

　　【例1】 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求：

　　(1)e1·e2；(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；(3)(e1＋e2)2．

　　解：(1)e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝．

　　(2)由(1)可知e1·e2＝，|e1|＝|e2|＝1，

　　所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)

　　＝－6＋3e2·e1＋4e1·e2－2

　　＝－6|e1|2＋3×＋4×－2|e2|2

　　＝－6＋－2＝－．

　　(3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2)

　　＝＋e1·e2＋e2·e1＋

　　＝＋2e1·e2＋＝1＋1＋1＝3．

　　误区警示 利用(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2时，不要将式中的a·b写成|a||b|．

探究二 求向量的模

　　利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：

　　(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；

　　(2)|a±b|＝＝．

　　【例2】 已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．

　　分析：通过数量积a·b来探求已知条件|3a－2b|＝3与目标式|3a＋b|之间的关系．

解：因为|a|＝|b|＝1，所以|a|2＝|b|2＝1．