第三单元 解决问题的策略 单

元

教

材

简

析

　　从三年级上册起，每一册教科书里都教学一种策略，依次是分析量关系的"从条件向问题推理"和"从问题向条件推理"，帮助理解题意的"列表整理"和"画图整理"，还有"枚举""转化""假设与替换"等策略。本单元没有安排新的策略，只是应用前面教学的策略，解决稍复杂的问题。目的是让学生进一步体会策略在解决新颖问题、复杂问题时的作用，体会解决同一个问题的方法多样、策略灵活，体会各种策略之间的相互配合、相互补充。全单元编排两道例题，具体安排见下表：

例1 把陌生的问题转化成熟悉的问题，体会转化可以多样。

例2 通过假设和调整解决问题，体会假设与调整可以多样。

心理学研究人们是怎样解决数学问题的，发现经常是"模式识别--问题转化--模型还原"的过程。解题者在感知数学问题、理解题意时，经常会想"这是什么问题？"通过辨别问题的类型，力求与自己头脑里储存的范例、模型发生某种联系，从而利用已有的知识经验，很快找到解决问题的途径与方法。这就是所谓的"模式识别"。有很多时候，解题者遇到的问题与头脑里储存的范例、模型很不一致，难以检索到可以直接用来解题的思路与方法。面对陌生的、新颖的问题，需要把它适当转化，使转化后的问题便于检索、能够解答。这就是所谓的"问题转化"，是十分重要的解决问题策略。数学问题最终要利用检索到的数学模型来解决，转化后的问题的答案是不是适合原来的问题，需要将解题的结果放到原问题的情境中进行检验，作出确认或否定。像这样把转化获得的数学模型还原到原来的问题情境中，就是所谓的"模型还原"。

回顾前面的解决问题教学，学生在学习基本思路"条件向问题推理""问题向条件推理"时，解答过许多两步计算的实际问题；在学习列表整理、画图整理时，也解答过一些两、三步计算的实际问题；在学习分数和百分数时，解答过大量的分数或百分数实际问题。应该说，在他们的认知结构里储存了较多的问题范例，以及这些问题的解法模型。他们在学习转化策略、假设策略时，初步体会了转化、假设的思想与方法，还进行过一些转化或假设的活动。现在，可以通过"模式识别"顺利解决认识的问题，可以通过"问题转化"解决不熟悉的问题，可以通过"模型还原"解题并检验结果，他们解决问题的资源已经相当丰富。本单元让学生利用已有资源继续解决实际问题，进一步提升思维水平，提高解决问题的能力。

教学解决问题的策略，一般有两大类内容：一类是传递新知识、新思想、新方法，通过新的内容提高解决问题的能力。另一类是应用已有的解决问题的知识经验、思想方法，加强对策略的体验和方法的领悟，从深刻性、灵活性、综合性上提高解决问题的能力。本单元的编排，体现了后一类的策略教学。

（一） 分析某个分数的意义，联系不同的知识，作出不同的推理，给出不同的解法，体会策略和方法的多样性

"选择一种方法列式解答"是经过"问题转化"以后的"模式识别"。利用已有的模型解决转化后的问题，也就是解答原来的问题。学生采用任何一种解法都可以，但不是要求他们"一题多解"。"检验"十分重要，应把得数放到原来的问题情境里检验是否正确。

　　 教学解决问题的策略，目光不能局限在列式解答以及求出得数上面，要重视策略的选择和使用。从大处讲，多数学生使用转化策略，把一个陌生的、较难的问题转化成熟悉的、会解答的问题，他们选择了相同的解决问题策略。教材要求学生说说"你选择了什么策略，是怎样想的"，希望他们在交流中获得这些体验。所以，组织学生交流，不能停留在怎样解答、算式怎样、结果对不对的上面，而要挖掘深层次的思考，说出为什么转化、怎样转化、联系了什么知识、应用了什么方法......通过相互理解和相互评价，体会方法的多样性。

还应该看到，解答例1时的转化，决定于对分数意义的理解与解释。如果概念准确，概念系统完善，从分数意义出发的推理就严密、流畅，转化也就顺利、有效。反之，如果分数概念模糊，分数和其他数学概念没有建立实质性联系，要想通过推理实现问题的转化将是很难的。为此，练习五第1题安排了分数与比的转化练习，要求学生根据示意图里的数量关系，写出分数，并转化成比。或者写出比，再转化成分数。这道题可以看作沟通数学概念之间联系，组建概念系统的练习，有助于问题的转化。教材提倡学生利用图形直观帮助联想，第2题根据已知的比或百分数，把线段图补充完整，要求借助线段图，把稍复杂的问题转化成简单的问题，探索原来问题的解法。在线段图上可以联想到的数学信息越多，思维就越开放，问题转化的思路会越开阔，解决问题的资源也就越充分。

（二） 解决同一个问题，提出几个不同的假设，采用几种不同的形式，体会策略和方法的多样性

例2的问题情境是42人正好坐满10只船，求大船和小船各有几只。这个问题的题意并不复杂，学生能够理解。但是，解法不容易想到，一般的分析数量关系的方法派不上用场。教材问学生"解决这个问题，你准备用什么策略"，不要求说出解题思路和算法，而是鼓励他们从已经学过的列表、画图、枚举、假设和转化策略里自主选择解题方法。正像"辣椒"卡通的画图、"萝卜"卡通的列举、"番茄"卡通的假设那样，每个学生都要有自己的选择，班集体里就会呈现策略多样化。

无论用哪种策略解决问题，大船和小船一共10只是不能改变的。"辣椒"卡通画了10只大船，每只船上的5个圆表示坐5人，这些船上一共可以坐50人，比实际多了8人。于是，从一只船上去掉2人，把这只大船换成小船；又从另一只船上去掉2人，也用小船替换大船......像这样替换4次，6只大船和4只小船一共乘42人，得到了问题的答案。"萝卜"卡通的想法是，租船方案可能是1只小船和9只大船、2只小船和8只大船......哪一种方案刚好坐42人，就是问题的答案。于是把各种租船可能，有次序地列举在一张表格里，分别计算每一种方案坐的人数，与42人比对，逐渐找到问题的答案。"番茄"卡通假设大船和小船都是5只，算出这些船一共可以坐40人，而40人比全班人数少2人，于是想办法调整大、小船的只数。只要学生有主动解决问题的积极性，班级里一定会有更多的解题形式、更多的假设与验证。

提出的假设（或猜想）必须检验，看10只船上是不是正好坐42人。提出的第一个假设往往不是问题的答案，船上的总人数不是比42人多，就是比42人少，需要调整大、小船的只数。教材把替换留给学生进行，一方面培养检验假设的意识，另一方面体会替换的方向与方法。如果10只船上的总人数比42人多，表明大船多了、小船少了，要用小船替换大船；如果10只船上的总人数比42人少，表明大船少了、小船多了，要用大船替换小船。替换时，可以一只一只地调整，用1只小船替换1只大船，或者用1只大船替换1只小船，并且及时检验，逐步逼近正确的结果。也可以一下子用2只或几只小船（大船）替换2只或几只大船（小船），加快调整的速度。如果假设的大、小船上乘坐的人数接近42人，可以一只一只地调整；如果假设的船上人数与42人相差较大，可以每几只一调。

解答例2采用的策略具有多样性、灵活性和综合性。多样性表现为解决同一个问题，有人画图、有人列表，有人枚举、有人猜想......都能形成思路；灵活性表现为可以有不同的假设起点，就像假设10只大船、假设1只小船和9只大船、假设5只小船和5只大船......还可以提出其他的假设，都能通过适当的调整得到正确的结果。综合性表现为解题以假设策略为主，还需要其他策略的配合。把假设策略用画图形式表现，便于直观地进行调整；把假设策略用列表形式表现，能看清检验与调整的过程，更便于寻找正确答案。

例2没有列式计算，主要是两个原因：一是解决问题未必都要列式计算，画图和列表也是解题的方法和形式。教学应该鼓励解题形式多样，发展学生的个性和创造性。二是解答这道题的算式比较难列，算式蕴含的算理比较复杂。如果列式计算，不仅增加了教学的困难，还会削弱替换活动，伤害学生的学习积极性。