第15讲　导数与函数的极值、最值

1.函数的极值

(1)函数的极小值:

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.

(2)函数的极大值:

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

2.函数的最值

(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则　　　　为函数的最小值,　　　　为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则　　　　为函数的最大值,　　　　为函数的最小值.

3.实际应用题

理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.

常用结论

导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:

不等式类型 与最值的关系 ∀x∈D,f(x)>M ∀x∈D,f(x)min>M ∀x∈D,f(x)M ∀x∈D,f(x)max>M ∃x0∈D,f(x0)g(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0 ∀x∈D,f(x)