(1) 你能用定义计算吗?

师:我们首先回忆昨天怎样计算?

提示:快速阅读课本P52例题1.

生:利用定义进行计算,分四步:①分割;②近似代替,③作和;④取极限.

师:利用定义计算时,需要使用这一结果,技巧性较强.

师:能否按照定义计算?

生(或师):需要求的和,而这个"和"是"求不出"的，因此用定义就算不出的结果．

师：从这个事实我们有这样一个感觉，尽管我们的被积函数简单（如），但是利用定义求它们的定积分依然会很困难，甚至"求"不出．

师：我们知道加法的逆运算是减法．乘法的逆运算是除法，而两向量的加法运算和减法运算是互为逆运算．类似地提出问题：求定积分运算有没有逆运算，如果有，它的逆运算我们如何去定义？

师：数学也是一门应用的科学，如果微积分难以在实际中应用，那么欧洲的十七世纪的科学也不会得到那么快的发展．我们的前辈牛顿和莱布尼茨分别独立有效的创立了微积分的基本定理和运算法则，从而使微积分能普遍应用于科学实践．

师：前辈们是如何发现微积分基本定理呢？现在我们不妨循着前辈足迹走一走．前辈经过思考，发现导数和定积分有某种联系．

师：我们可以看看下面的一些事实：

我们知道，如果是匀速直线运动速度函数，那么在直线下方的面积S就是位移；如果匀变速直线运动速度函数为，同样在直线下方的面积S就是位移。

我们又知道，位移函数，曲线下的面积可以用定积分进行计算。你能从上面的找到规律吗？

生：

（2）师：那么，导数和定积分到底有何内在联系?能否从这种联系中找出求定积分的简便、有效的方法?

生：阅读P57的探究

师：你能说说解决书本第57页的"探究"的基本思路吗?

生：思考，讨论，探究，并尝试提出解决问题的思路． 师：为了解决一个一般性的问题．我们可以先把问题分解一下．

（3）师：如果做直线运动的物体的运动规律是，那么它在时刻的速度是什么?

生：

（4）师：如何用表示物体在内的位移S?

　　教师引导学观察函数的图象（图1.6-1），观察图象（或根据位移的定义）得出S＝s(b)－s(a)．

（图1.6-1）

（5）师：如何用表示物体在内的位移S？

（图1.6-2）

　　教师引导学生利用导数的几何意义，从图形上直观的观察近似值的意义，并从图形上直观地观察近似值的意义，并用定积分得出．

（6）由上面的讨论你能得到什么结论?

教师引导学生小结：物体在上的位移就是在区间上的定积分，等于函数在区间端点b，a处的函数值之差，从而．

(7)给出微积分基本定理的一般形式．

一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么．这个结论叫做微积分基本定理（fundamental theorem of calculus），又叫做牛顿－莱布尼茨公式（Newton－Leibniz Formula）．

为了方便，我们常常把记成，即．