(2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而ʃf(x)dx只是这种极限的一种记号，读作"函数f(x)从a到b的定积分"．

(3)函数f(x)在区间a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．

例1　利用定积分的定义，计算ʃx3dx的值．

解　令f(x)＝x3.

(1)分割

在区间0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间0,1]等分成n个小区间，](i＝1,2，...，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.

(2)近似代替、求和

取ξi＝(i＝1,2，...，n)，则

ʃx3dx≈Sn＝ni＝1f()·Δx

＝ni＝1 ()3·

＝ni＝1i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.

(3)取极限

ʃx3dx＝Sn＝ (1＋)2＝.

反思与感悟　(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是"分割、近似代替、求和、取极值"这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．

(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．

跟踪训练1　用定义计算ʃ(1＋x)dx.

解　(1)分割：将区间1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，...，n)，每个小区间的长度为

Δx＝.

(2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，...，n)，于是f(ξi