分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

　　2.平面向量的坐标运算

　　若a=(x1,y1),b=(x2,y2),

　　则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx,λy).

　　若A(x1,y1),B(x2,y2),则(AB) ⃗=(x2-x1,y2-y1).

　　3.向量平行的坐标表示

　　a∥b(b≠0)的等价条件是x1y2-x2y1=0

　　证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.

　　由a=λb得,(x1,y1)=λ(x2,y2)⇒{■(x_1=λx_2 "," @y_1=λy_2 "," )┤消去λ,x1y2-x2y1=0.

　　四、运用规律,解决问题

　　【例1】解:原式=3(2,1)+4(-3,4)=(6-12,3+16)=(-6,19).

　　【例2】解:当平行四边形为ABCD时,由(AB) ⃗=(DC) ⃗得D=(2,2);

　　当平行四边形为ACDB时,得D=(4,6);

　　当平行四边形为DACB时,得D=(-6,0).

　　【例3】解:因为(AB) ⃗=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),(CD) ⃗=(2-1,7-5)=(1,2),

　　又因为2×2-4×1=0所以(AB) ⃗∥(CD) ⃗,

　　又因为(AC) ⃗=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),(AB) ⃗=(2,4),2×4-2×6≠0,

　　所以(AC) ⃗与(AB) ⃗不平行,

　　所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,

　　从而AB∥CD.

　　五、变式演练,深化提高

　　练习1:解:由题设F1+F2+F3=0得:(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),

　　即:{■(3+2+x=0"," @4"-" 5+y=0"," )┤∴{■(x="-" 5"," @y=1"," )┤∴(-5,1)即为所求.

　　练习2:解:a=(-1,x)与b=(-x,2)共线,所以(-1)×2-x·(-x)=0,

　　x=±√2,因为a与b方向相同,所以x=√2.

　　练习3:解:(PQ) ⃗=(3,2)-(2,1)=(1,3),

　　(QP) ⃗=(2,-1)-(3,2)=(-1,-3).

　　六、反思小结,观点提炼

　　1.理解平面向量的坐标的概念;

　　2.掌握平面向量的坐标运算;

　　3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.