１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设 1=a+bi， 2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2.乘法运算律：

(1) 1( 2 3)=( 1 2) 3

证明：设 1=a1+b1i， 2=a2+b2i， 3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵ 1 2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

2 1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.

又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.

∴ 1 2= 2 1.

(2) 1( 2+ 3)= 1 2+ 1 3

证明：设 1=a1+b1i， 2=a2+b2i， 3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵( 1 2) 3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)

=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

1( 2 3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴( 1 2) 3= 1( 2 3).

(3) 1( 2+ 3)= 1 2+ 1 3.