即原不等式成立.

二、利用均值不等式或不等式的性质进行放缩

【例2】 (1)比较log23与log34的大小;

(2)求证:log56·log54<1;

(3)已知f(x)=logx(x+1),

①比较f(1 024)·f(1 025)·...·f(2 048)与1.1的大小;

②求证:f(n)>f(n+1)(n∈N,n≥2).

(1)解析:log23-log34=

∴log23>log34.

(2)证明:=log524

(3)①解析:f(1 024)·f(1 025)·...·f(2 048)==1.1.

②证明:f(n)>f(n+1)logn(n+1)>logn+1(n+2)logn+1(n+2)·logn+1n<1,仿(2)的证明思路,此式易证.

温馨提示

1.对于(1),比较大小→作差→平均值不等式→放缩,结果出来了.熟悉了常规解法,然后再去追求解法的新奇,所有新奇思路的获得,必植根于扎实的基础之中,如这样放缩:

log23=log827>log816>log916=log34,就更为巧妙!

2.放与缩,没有固定的模式,需根据问题的特点,设计好如何进行放缩.放到什么程度,缩到怎样的范围,必须事先在心中有一个充分的估计.

类题演练2

a,b,c为三角形的三边,p=,p2=2ab,求证:

(1)p<2a;(2)a>c.

证明:(1)∵a+c>b,

∴p=>=b.

∴2ab=p·p>p·b,即p<2a.

(2)p=≤,