1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．(　×　)

2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．(　√　)

题型一　直线与圆锥曲线的位置关系判定

例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？

解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③

这个关于x的一元二次方程的判别式

Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)由Δ>0，得－3

于是，当－3

(2)由Δ＝0，得m＝±3.

也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)由Δ<0，得m<－3或m>3.

从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．