①-②得46a·b=23b2,即有a·b=b2=|b|2.
代入①式,得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,
故有|a|2=|b|2,即|a|=|b|.
∴cos〈a,b〉===.
又∵0°≤〈a,b〉≤180°,
∴〈a,b〉=60°,即a与b的夹角为60°.
变式训练4 已知△ABC中,a=5,b=8,BC·CA=-20,试求∠C.有位同学求解如下:
解:如图2-3-5,∵||=a=5,||=b=8,
图2-3-5
∴cos∠C===-.
又∵0°≤∠C≤180°,∴∠C=120°.
这位同学的解答正确吗?如果你是他的数学老师,你会给他写什么批语?
思路解析:上述解答,乍看正确,但事实上确实有错误,原因就在于没能正确理解向量夹角的定义,由于与两向量的起点并不同,故∠C≠〈,〉,
而是∠C+〈,〉=180°,则cos〈,〉===-.
又∵0°≤〈,〉≤180°,∴〈,〉=120°.∴∠C=60°.
答案:这位同学的解答不正确,∠C=60°.批语是:如果你再理解了向量夹角的定义,那么你就成功了,请你再试试吧.
例2 已知向量a、b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).
思路分析:考查向量垂直的条件以及向量的数量积.证明(a+b)与(a-b)垂直,转化为证明(a+b)与(a-b)的数量积为零,也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.
证法一:∵|2a+b|=|a+2b|,
∴(2a+b)2=(a+2b)2.
∴4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2 .
∴a2=b2.
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.
又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,
∴(a+b)⊥(a-b).