1.复合函数的概念
对于函数,令,则是中间变量u的函数,是自变量x的函数,则函数是自变量x的复合函数.
要点诠释: 常把称为"内层", 称为"外层" 。
2.复合函数的导数
设函数在点x处可导,,函数在点x的对应点u处也可导,则复合函数在点x处可导,并且,或写作.
3.掌握复合函数的求导方法
(1)分层:将复合函数分出内层、外层。
(2)各层求导:对内层,外层分别求导。得到
(3)求积并回代:求出两导数的积:,然后将,即可得到
的导数。
要点诠释: 1. 整个过程可简记为分层--求导--回代,熟练以后,可以省略中间过程。若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。
2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量,逐层求导,不遗漏。求导后,要把中间变量转换成自变量的函数。
【典型例题】
类型一:求简单初等函数的导数
例1. 求下列函数的导数:
(1)y=x13;(2);(3);(4);(5);(6)。
【解析】 (1);
(2);
(3);
(4);
(5);