题型一　空间向量的数量积运算

例1　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：

(1)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)；(2)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)；(3)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)；(4)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→).

解　(1)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)

＝|\s\up6(→(→)·|\s\up6(→(→)|·cos〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉

＝×1×1×cos60°＝，

所以\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝；

(2)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝|\s\up6(→(→)|·|\s\up6(→(→)|·cos〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉

＝×1×1×cos0°＝，

所以\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝；

(3)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝|\s\up6(→(→)|·|\s\up6(→(→)|·cos〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉＝×1×1×cos120°＝－，

所以\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝－；

(4)\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))·(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))

＝[\s\up6(→(→)·(－\s\up6(→(→))＋\s\up6(→(→)·(－\s\up6(→(→))＋\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)]

＝[－\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＋(\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→))·\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)]

＝(－－＋－＋)＝－.

反思与感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.

跟踪训练1　已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为.

答案　－13