提示:在证明不等式时,常常先用分析法思考,然后用综合法表达.分析与综合之间存在互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.
用综合法证明不等式
已知a、b、c是正数,求证:≥abc.
[思路点拨] 由题目可获取以下主要信息:a、b、c均为正数,把要证不等式同解变形后发现可用平均值不等式证明.
[证明] ∵a、b、c是正数,
∴b2c2+c2a2≥2abc2,b2c2+a2b2≥2ab2c,c2a2+a2b2≥2a2bc.
∴2(b2c2+c2a2+a2b2)≥2(abc2+ab2c+a2bc),
即b2c2+c2a2+a2b2≥abc(a+b+c).
又a+b+c>0,
∴≥abc.
[规律方法] (1)综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果关系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.
(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式,其中常用的有如下几个:①a2≥0(a∈R).②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有:a2+b2≥2ab,≥ab.a2+b2≥(a+b)2.③若a,b为正实数,≥.特别+≥2.④a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
变式训练1 设a、b、c均为正数,求证++≥++.
证明:∵a、b、c均为正数,
∴≥≥,当a=b时等号成立;