(3)如图，球与圆锥面相切，切点轨迹是⊙O，同时球与截面切于点F．设M是截线上任意一点，则MF是由点M向球所作的切线的长，又圆锥过点M的母线与球切于点P．设⊙O所在的平面为α， MH⊥α于H，截面与平面α交于l，HN⊥l 于N，则MN⊥l ．

MF ＝ MP＝ MN

学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：

对于Dandelin双球理论只要让学生感知、认同即可.

三、建构数学

（1）圆锥曲线的定义

推导说明(1)中截法中，截线上任意一点到两个定点的距离的和等于常数.

椭圆：平面内到两定点的距离和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆，两

个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

说明：若动点M到的距离之和为2a ， | F1 F2| = 2c

则当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆;

当a = c>0时，动点M的轨迹是线段F1 F2 ；

当 0 < a < c时，动点M无轨迹

(2) 双曲线的定义

对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成.（类比椭圆的定义）

双曲线：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

说明：若动点M到两定点的距离之差的绝对值为2a ，| F1 F2| = 2c

　　　　　当c > a >0时，动点M的轨迹是双曲线;

　　　　　当a = c>0时，动点M的轨迹是两条射线；

当 0 < c < a时，动点M无轨迹