课堂导学

三点剖析

一、利用导数求最值

【例1】 已知x、y为正实数,且满足关系式x2-2x+4y2=0,求x·y的最大值.

思路分析:题中有两个变量x和y,首先应选择一个主变量,可利用换元法,然后再求导.

解：由x2-2x+4y2=0,得(x-1)2+4y2=1(x>0,y>0).

设x-1=cosα,y=sinα(0<α<π),

∴x·y=sinα(1+cosα).

设f(α)=sinα(1+cosα)=sinα+sinαcosα,

∴f′(α)=cosα+cos2α-sin2α=(2cos2α+cosα-1)=(cosα+1)(cosα-).

令f′(α)=0,得cosα=-1或cosα=.

∵0<α<π,∴α=,此时x=,y=.

∴f()=.∴［f(α)］max=,

即当x=,y=时,（x·y）max=.

温馨提示

在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件,以免陷入困境.

二、求最值的常见技巧

【例2】（2005北京高考） 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,

(1)求f(x)的单调减区间;

(2)若f(x)在区间［-2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

解：（1）f′(x)=-3x2+6x+9.令f′(x)<0，解得x<-1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（-∞,-1)，（3+∞）.

(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,

所以f(2)>f(-2).

因为在（-1，3）上f′(x)>0，所以f(x)在［-1，2］上单调递增，又由于f(x)在［-2，-1］上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间［-2，2］上的最大值和最小值.

于是有22+a=20,解得a=-2.

故f(x)=-x3+3x2+9x-2.因此f(-1)=1+3-9-2=7,

即函数f(x)在区间［-2，2］上的最小值为-7.

温馨提示

注意比较求函数的极值与最大值的不同.

三、综合应用

【例3】 设函数f(x)是定义在［-1,0)∪(0,1］上的偶函数,当x∈［-1,0)时,f(x)=x3-ax(a∈R).