所以1＜＜3，即＜|a|＜，

所以－＜a＜－或＜a＜为所求a的范围.

【变式训练2】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为　　　　　.

【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为＝，即y＝－x.

根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.

故由P(1,2)可得它关于直线y＝－x的对称点，即点Q的坐标为(－2，－1).

题型三　圆的弦长、中点弦的问题

【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.

【解析】(1)如图，AB＝4，D是AB的中点，则AD＝2，AC＝4，

在Rt△ADC中，可得CD＝2.

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线的距离公式＝2，

得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.

又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x＝0.

所以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0. (也可以用弦长公式求解)

(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，

因为CD⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，

化简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用"平方差法"，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，

由得k＝＝－＝－.

该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.

【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A.10 B.20 C.30 D.40

【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为AC＝10，最短弦为BD＝2＝4，S＝AC·BD＝20.

总结提高

1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l＝2