(3)是全称命题,其否定:存在a,b∈R,使方程ax=b的解不惟一或不存在.
(4)是全称命题,其否定:存在被5整除的整数,末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题,对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定:
(1)每一个四边形的四个顶点共圆;
(2)所有自然数的平方都是正数;
(3)任何实数x都是方程5x-12=0的根;
(4)对任意实数x,x2+1≥0.
解 (1)綈p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(2)綈p:有些自然数的平方不是正数.
(3)綈p:存在实数x0不是方程5x0-12=0的根.
(4)綈p:存在实数x0,使得x+1<0.
题型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)p:存在x>1,使x2-2x-3=0;
(2)p:有些素数是奇数;
(3)p:有些平行四边形不是矩形.
解 (1) 綈p:任意x>1,x2-2x-3≠0.(假).
(2) 綈p:所有的素数都不是奇数.(假).
(3) 綈p:所有的平行四边形都是矩形.(假).
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:存在x0∈M,p(x0)成立⇒綈p:任意x∈M,綈p(x)成立.
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)存在x0,y0∈Z,使得x0+y0=3.
解 (1)命题的否定是"不存在一个实数,它的绝对值是正数",即"所有实数的绝对值都不是正数".它为假命题.