x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) (↗ 极大值 ↘

因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．

反思与感悟　函数极值和极值点的求解步骤

(1)确定函数的定义域．

(2)求方程f′(x)＝0的根．

(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．

(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．

特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．

跟踪训练1　求下列函数的极值点和极值．

(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；

(2)f(x)＝x2e－x.

考点　函数在某点处取得极值的条件

题点　不含参数的函数求极值问题

解　(1)f′(x)＝x2－2x－3.

令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 (↘ 极小值 ↗

由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值，且极大值f(－1)＝，当x＝3时，函数有极小值，且极小值f(3)＝－6.

(2)函数f(x)的定义域为R.

f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘