∴an＝.

变式练习：已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，求通项 an.

2．累加法

例2、数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．

[解析]　(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2. 即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1.所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是(a ＋1－a )＝(2 －1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.

变式训练：已知{an}中，,求通项 an.

3．累乘法

例3、已知数列{an}中，a1＝，Sn＝n2an，其中Sn是数列{an}的前n项和，求an.

[解析]　由Sn＝n2an，得Sn－1＝(n－1)2an－1，两式相减，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2)，∴＝(n≥2)． ∴an＝(··*...·)·a1＝(··*...··)·＝×＝(n≥2)．又∵当n＝1时，a1＝也符合上式， ∴an＝.

4．构造转化法

例4、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.

[解析]由已知an＋1＝an＋1得：(an＋1－3)＝(an－3)∴＝，∴{an－3}为以a1－3＝－2为首项，q＝的等比数列．∴an－3＝(－2)×()n－1，∴an＝3－2·()n－1.