解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|1时,|x-4|+|x-3|

另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理:

∵|x-4|+|x-3|=|x-4|+|3-x|

≥|x-4+3-x|=1,

∴a的取值范围是a>1.

二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)

【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.

解析：方法一:原不等式

由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,

∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

方法二:原不等式或2≤x≤4.

∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}.

温馨提示

对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,

另一种则是转化为来求.

当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).

类题演练2

解不等式|2x-1|>3x.

解析:①当x<0时,原不等式显然成立;

②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-1

∴0≤x<.

由①②知原不等式的解集为{x|x<}.

变式提升2

(1)解不等式|x2-3x+2|>x2-3|x|+2.