把劲度系数为k的弹簧的一端固定，另一端用拉力F缓慢地拉伸弹簧，则拉力F大小的变化规律与弹簧弹力大小的变化规律相同，即F＝F弹＝kl，两力方向相反，且都是变力．拉力做的功等于弹簧弹性势能的增加量，以弹簧在原长时的弹性势能为零势能点，即W外＝Ep.

　　3．推导弹簧弹性势能的表达式

　　如图所示，弹簧弹力F弹与弹簧形变量l呈线性关系．若将形变量l分成很多段，则每一段上弹簧的弹力就可以当成恒力处理，由W＝F弹Δl知，这些矩形面积的数值之和与弹力做功的大小相等．综合起来考虑，图线与l轴所围面积的数值就是弹力做功的大小，则W＝kl·l＝kl2.弹簧弹力始终与位移方向相反，故弹簧弹力做负功，即W弹＝－kl2.

　　外力克服弹力做的功等于弹簧弹性势能的增加量，所以这一过程中弹性势能增加了ΔEp＝kl2.

　　结论：如果选弹簧的长度为原长时的端点为零势能点，则弹簧弹性势能的表达式为Ep＝kl2.

　　4．对弹性势能表达式的说明

①Ep＝kl2中l为相对于自由长度的形变量，可见对同一弹簧压缩或拉伸相同长度弹性势能相等．②该式在教材中没有出现，也不要求定量计算，但了解这一形式对定性分析还是很有帮助的．③弹性势能的求解，通常由能量转化的方式利用能量守恒求解．④弹性势能表达式推导中，求弹力做功时用了极限思想，即Δl很小时，弹力可视为恒力；数形结合思想，作F­l图象．图象的面积值表示弹力做的功，用转化思想把求弹性势能Ep转化为求弹力做的功．