例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；

(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．

解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，

又＝，∴a＝5，b＝＝12，

故其标准方程为－＝1.

(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，

若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①

∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②

联立①②，无解．

若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③

∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④

联立③④，解得a2＝8，b2＝32.

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，

∵A(2，－3)在双曲线上，

∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

反思与感悟　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0)．

跟踪训练2　根据条件，求双曲线的标准方程．