因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且f(x)＝x[x2－3mx＋3(m2－4)]，

所以

解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).

当m∈(－4，－2)时，m－2＜m＋2＜0，

所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.

此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去.

当m∈(－2,2)时，m－2＜0＜m＋2，

所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.

因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，

所以α＜1＜β.

所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.

因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，

所以m＋2＝1，即m＝－1.

当m∈(2,4)时，0＜m－2＜m＋2，

所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.

因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，

所以α＜1＜β.

所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.

因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，

所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).

综上可知，m的取值范围是{－1}.

【变式训练3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.

(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；

(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围.

【解析】(1)当a＞0时，F(x)的递增区间为(，＋∞)，递减区间为(0，)；

当a≤0时，F(x)的递减区间为(0，＋∞).

(2)[ln 2，).

总结提高

在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.