例2．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，点F分别是PC，AP的中点.

（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；

（2）求异面直线AE与BF所成的角；

（3）求二面角A-BE-F的平面角.

解：（1）∵PB⊥平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC，

　又∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面PBC ∴侧面PAC⊥侧面PBC.

（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，

建立空间直角坐标系，由条件可设

（3）平面EFB的法向量=(0,1,1)，

平面ABE的法向量为=（1，1，1）

例3．如图，

正方体ABCD-A1B1C1D1

的棱长为1，E、F

、M、N分别是

A1B1、BC、

C1D1、B1C1的中点.

（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角；

（II）求直线MN与平面ENF所成角的余弦值；

（III）求二面角N-EF-M的平面角的余弦值.

解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则有E（，0，1，），F（1，，0），M（，1，1），N（1，，1）. （1）∵EF=（，，-1），MN=（，-，0），

∴EF·MN=（，，-1）·（，-，0）=-+0=0.

∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.

（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），

∴FN·MN=0，∴FN⊥MN.

∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.所成角的余弦为零。

（3）二面角M-EF-N的平面角的余弦值为. （见一） 1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.

（Ⅰ）确定点G的位置；

（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.

解：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则F（1，0，0），

E（1，1，0）

，A（0，2，0），

C1（0，0，2），

设G（0，2，h），则

∴－1×0+1×（－2）+2h=0. ∴h=1，即G是AA1的中点.

（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，

则

所以

平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）

∵

∴， 即AC1与平面EFG所成角为

2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，

CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.

（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；

（Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点C1到平面A1CB的距离.

答案：（Ⅰ）先证 BC⊥平面A1ABB1，

　　∴平面CA1B⊥平面AA1BB1，

　　（Ⅱ）

　　（Ⅲ）C1到平面A1BC的距离为.