(2)因为在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝，所以cos∠E＝，所以FE＝5.

又FD＝3＝FC，所以CE＝2.

题型二　圆中有关定理的综合应用

【例2】如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.

(1)求证：AD∥EC；

(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长.

【解析】(1)连接AB，因为AC是⊙O1的切线，所以∠BAC＝∠D，

又因为∠BAC＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥EC.

(2)方法一：因为PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，

所以PA2＝PB·PD，所以62＝PB·(PB＋9)，所以PB＝3.

在⊙O2中，由相交弦定理得PA·PC＝BP·PE，所以PE＝4.

因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.

方法二：设BP＝x， PE＝y.

因为PA＝6，PC＝2，所以由相交弦定理得PA·PC＝BP·PE，即xy＝12.①

因为AD∥EC，所以＝，所以＝.②

由①②可得或 (舍去)，所以DE＝9＋x＋y＝16.

因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.

【变式训练2】如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4.

(1)求PF的长度；

(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度.

【解析】(1)连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条件可得∠CDE＝∠AOC.

又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，

从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，所以＝.