函数的奇偶性

【考点精讲】

性 质 定 义 偶函数 图象关于y轴对称；

定义域关于原点对称。 如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么函数f（x）就叫偶函数 奇函数 图象关于原点对称；定义域关于原点对称；定义域中有零，则其图象必过原点，即f（0）=0。 如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么函数f（x）就叫奇函数 　　注意：

　　在公共定义域内，

（1）奇函数与奇函数之积是偶函数；

（2）奇函数与偶函数之积是奇函数； 学_ _

（3）偶函数与偶函数之积是偶函数；

（4）奇函数与奇函数的和（差）是奇函数；

（5）偶函数与偶函数的和（差）是偶函数。

【典例精析】

　　例题1 已知f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。

　　思路导航：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明。

　　答案：f（x）在（－∞，0）上是增函数。证明如下：

　　设x1－x2>0，

　　∴f（－x1）

　　由于f（x）是偶函数，因此f（－x1）=f（x1），f（－x2）=f（x2）。

　　∴f（x1）

　　点评：利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题。

　　例题2 若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（1－x），求当x≥0时，函数f（x）的解析式。

　　思路导航：将x＜0时f（x）的解析式转化到x＞0的区间上，这是解决本题的关键。

由于f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=－f（x）=－{（－x）［1－（－x） }=x（1+x）；

当x=0时，f（0）=－f（0），即f（0）=0。

　　∴当x≥0时，f（x）=x（1+x）。

　　答案：当x≥0时，f（x）=x（1+x）

　　点评：判断分段函数的奇偶性时，应对x在各个区间上分别讨论，由x的取值范围确定相应的函数表达式，最后要综合得出在定义域内总有f（－x）=f（x）或f（－x）=－f（x），从而判定其奇偶性。

例题3 设f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上递增，且有f（2a2+a+1）＜