课堂导学

三点剖析

1.平面向量的数量积

【例1】 已知|a|=4,|b|=3,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.

思路分析：利用向量的数量积定义求解，注意几种情况下，a与b的夹角大小.

解：①当a∥b时，若a与b同向，则a与b的夹角θ=0°,

∴a·b=|a|·|b|cosθ=4×3×cos0°=12;

若a与b反向，则a与b的夹角为θ=180°,

∴a·b=|a|·|b|cos180°=4×3×(-1)=-12;

②当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，

∴a·b=|a|·|b|·cos90°=4×3×0=0;

③当a与b的夹角为60°时，

∴a·b=|a|·|b|·cos60°=4×3×=6.

友情提示

若|a|·|b|是一个定值k，则当这两个向量的夹角从0°变化到180°时，两向量的数量积从k减到-k，其图象是从0到π 的半个周期内的余弦函数图象.

各个击破

类题演练 1

Rt△ABC中，已知||=3，||=3，||=，求·+·+·的值.

解析:∵∠A=∠C=45°，∴〈，〉=135°，〈，〉=135°，

∴·+·+·=·+·=3×cos135°+×3cos135°=-18.

变式提升 1

若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4.则a·b+b·c+c·a=____________.

解法一：由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,

故向量a与b同向，而向量c与它们反向.

所以有a·b+b·c+c·a=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.

∴应填：-13.

解法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a),

∴a·b+b·c+c·a==-13.

∴应填：-13.

答案：-13

2.平面向量数量积的综合应用

【例2】 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.

思路分析：根据公式a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=，由此可求两向量的夹角.

解：|m|=1,|n|=1,由夹角是60°，