1.3.3　函数的最大(小)值与导数

学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．

知识点　函数的最大(小)值与导数

如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．

思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．

答　极大值为：f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．

思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？

答　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．

思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？

答　不一定，也可能是区间端点的函数值．

思考4　怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？

答　比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．

1．函数的最大(小)值的存在性

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．

2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

类型一　求函数的最值

例1　已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)，且f(x)在点(，f())处的切线垂直于y轴．