∴1＋－＜1＋＋＋...＋＜1＋1－，

即－＜1＋＋＋...＋＜2－(n∈N＋且n≥2)成立．

类型二　反证法证明不等式

命题角度1　证明"否定性"结论

例2　设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋，证明：

(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．

证明　由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.

(1)由基本不等式及ab＝1可知，a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立.

(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．

反思与感悟　当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．

跟踪训练2　设0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，

求证：(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能同时大于1.

证明　假设(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b同时都大于1，

即(2－a)·c＞1，(2－b)·a＞1，(2－c)·b＞1，

则(2－a)·c·(2－b)·a·(2－c)·b＞1，

∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc＞1.①

∵0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，

∴(2－a)·a≤2＝1，

同理(2－b)·b≤1，(2－c)·c≤1，

∴(2－a)·a·(2－b)·b·(2－c)·c≤1，

∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc≤1，这与①式矛盾．

∴(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能同时大于1.

命题角度2　证明"至少""至多"型问题

例3　已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：

(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.

证明　(1)f(1)＋f(3)－2f(2)

＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.