题型一 求函数的最值
例1 求下列各函数的最值:
(1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2];
(2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1].
解 (1)f′(x)=-4x3+4x,
令f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,
得x=-1,x=0,x=1.
当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:
x -3 (-3,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) -60 极大值4 极小值3 极大值4 -5
∴当x=-3时,f(x)取最小值-60;
当x=-1或x=1时,f(x)取最大值4.
(2)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,
∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0,∴f(x)在[-1,1]上为增函数.故x=-1时,f(x)最小值=-12;
x=1时,f(x)最大值=2.
即f(x)的最小值为-12,最大值为2.
反思与感悟 一般地,在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值,在开区间(a,b)内的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值.
跟踪训练1 设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为-12.
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.
解 (1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,∴c=0.