(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．

　　　1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求ax＋by的最小值．

　　解：因为a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，

　　由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，得1≥(ax＋by)2，

　　所以ax＋by的最小值为－1.

　　2．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．

　　解：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝.

　　当且仅当x＝y＝时取等号．

　　所以2x＋y的最大值为.

　　　利用柯西不等式的代数形式证明不等式[学生用书P41]

　　　已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·(＋)≥(a1＋a2)2.

　　【证明】　(a1b1＋a2b2)(＋)

　　＝[()2＋()2][()2＋()2]

　　≥(·＋·)2＝(a1＋a2)2.

　　当且仅当b1＝b2时，等号成立．

　　利用柯西不等式的代数形式证明不等式的方法

　　利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法，才能找到突破口．

　　　已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.

　　证明：因为a，b都是正实数，

　　所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b)

　　＝[12＋()2][12＋()2]≥(1＋)2，

　　当且仅当a＝1，b＝2时取等号．

　　因为ab＝2，

　　所以(1＋)2＝9，

所以(1＋2a)(1＋b)≥9.