当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．

故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3.

反思与感悟　(1)研究函数首先要研究其定义域．

(2)令导函数等于零，求出使导函数等于零的自变量的值．

(3)正确列出表格，使区间不重不漏，界点清楚．

跟踪训练1　设函数f(x)＝ax3＋(2a－1)x2－6x(a∈R)．

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程；

(2)当a＝时，求f(x)的极大值和极小值．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3＋x2－6x，f′(x)＝3x2＋3x－6，

k＝f′(－1)＝3－3－6＝－6，f(－1)＝，

所以y－＝－6(x＋1)，

即12x＋2y－1＝0为所求切线的方程．

(2)当a＝时，f(x)＝x3－x2－6x，

f′(x)＝x2－x－6.

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝3.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：

x (－∞，－2) －2 (－2,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ ↘ － ↗

所以f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，

所以f(x)的极大值为f(－2)＝，f(x)的极小值为f(3)＝－.

类型二　极值的综合应用