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2019-2020学年北师大版选修2-2 函数中的存在性与恒成立问题教案

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最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.

三、知识拓展

(1)恒成立问题

①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；

②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)max

③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；

④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max <0；

⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max；

⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1)

(2)存在性问题

①. ∃x0∈D,使得f(x0)>A成立,则f(x) max >A；

②. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) min

③. ∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴ F(x) max >0；

④. ∃x0∈D,使得f(x0)

⑤. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) max > g(x) min；

⑥. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1)

(3)相等问题

若f(x)的值域分别为A,B,则

①. ∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则；

② ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1)=g(x2)成立,则.

(4)恒成立与存在性的综合性问题

①∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)min> g(x) min；

②∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1)

四、题型分析

解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.

(一) 函数性质法

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