8.总结归纳
若P,则q. 若q,则P. 原命题 互 逆 逆命题 互
否 互
为 否
逆 互
否 为
互 逆
否 否命题 逆否命题 互 逆 若¬P,则¬q. 若¬q,则¬P. 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.
9.例题分析
例4: 证明:若p2 + q2 =2,则p + q ≤ 2.
分析:如果直接证明这个命题比较困难,可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将"若p2 + q2 =2,则p + q ≤ 2"视为原命题,要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否命题"若p + q >2,则p2 + q2 ≠2"为真命题,从而达到证明原命题为真命题的目的.
证明:若p + q>2,则
p2 + q2 =[(p -q)2+(p +q)2]≥(p +q)2>×22=2
所以p2 + q2≠2.
这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题。
练习巩固:证明:若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1.
10:教学反思
(1)逆命题、否命题与逆否命题的概念;
(2)两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性;
(3)两个命题为互逆命题或互否命题,他们的真假性没有关系;
(4)原命题与它的逆否命题等价;否命题与逆命题等价.
11:作业 P5:习题1 第3、4题