B组　2018-2018年模拟·提升题组

(满分:30分　时间:30分钟)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2018甘肃兰州模拟,7)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC的外接圆的方程是(　　)

A.x2+(y-3)2=5 B.x2+(y+3)2=5

C.(x-3)2+y2=5 D.(x+3)2+y2=5

答案　D

2.(2018福建厦门4月联考,5)若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案　B

二、填空题(共5分)

3.(2018湖南常德一模,14)已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围为　.

答案　-≤k≤0

三、解答题(共15分)

4.(2018河南中原名校第三次联考,17)已知圆C的方程为x2+(y-4)2=1,直线l的方程为2x-y=0,点P在直线l上,过点P作圆C的切线PA,PB,切点为A,B.

(1)若∠APB=60°,求点P的坐标;

(2)求证:经过A,P,C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.

解析　(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4),PC=2,设P(a,2a),则=2,解得a=2或a=,所以点P的坐标为(2,4)或.

(2)设P(a,2a),过点A,P,C的圆即是以PC为直径的圆,其方程为x(x-a)+(y-4)(y-2a)=0,整理得x2+y2-ax-4y-2ay+8a=0,

即(x2+y2-4y)-a(x+2y-8)=0.

由得或∴该圆必经过定点(0,4)和.

C组　2018-2018年模拟·方法题组

方法1　求圆的方程的方法

1.(2018海南海口模拟,7)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为(　　)

A.(x+3)2+(y-1)2=1 B.(x-3)2+(y+1)2=1

C.(x+3)2+(y+1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1

答案　C

2.(2018山西运城二模,15)已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为　　　　　　　　　　.

答案　(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2

3.(2018河北衡水中学调研,18)已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:

(1)直角顶点C的轨迹方程;

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

解析　(1)解法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.

因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.

因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).

解法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).

(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.

由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.

因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).