§4　用向量讨论垂直与平行

　　1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系．(重点)

　　2．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．(重点)

　　3．能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力．(难点)

　　[基础·初探]

　　教材整理1　立体几何中垂直关系的向量表示

　　阅读教材P40～P41的部分，完成下列问题．

　　设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.

　　(1)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.

　　(2)线面垂直：l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)．

　　(3)面面垂直：π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.

　　已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．

　　【解析】　∵u1·u2＝1×0＋0×2＋1×0＝0，

　　∴u1⊥u2，∴α⊥β.

　　【答案】　α⊥β

　　教材整理2　立体几何中平行关系的向量表示

　　阅读教材P40～P41的部分，完成下列问题．

　　设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.

　　(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．

　　(2)线面平行：l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0.(lπ1)．

(3)面面平行：π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)．