4．[P34T2]函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调增区间为________．

答案　

解析　令f′(x)＝1－2cosx>0，得cosx<，

又x∈(0，π)，所以

所以f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调增区间为.

5．[P34T4]函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值是__________．

答案　＋

解析　∵y′＝1－2sinx，

∴当x∈时，y′>0；当x∈时，y′<0.

∴当x＝时，ymax＝＋.

题组三　易错自纠

6．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为____________．

答案　(1，＋∞)

解析　令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0，

∴g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.

由g(x)<0＝g(1)，得x>1.

∴不等式的解集为(1，＋∞)．

7．函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．

答案　[－3,0]

解析　f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0]．

8．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．

答案　－4

解析　f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，

∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，

∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，