考点　曲线与方程

1.(2018课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

解析　(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).

由=得x0=x,y0=y.

因为M(x0,y0)在C上,

所以+=1.

因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.

(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).

由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,

又由(1)知m2+n2=2,

故3+3m-tn=0.

所以·=0,即⊥.

又过点P存在唯一直线垂直于OQ,

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

2.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.

(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

解析　由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,

且A,B,P,Q,R.

记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)

(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.

记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则

k1=====-b=k2.

所以AR∥FQ.(5分)

(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.

由题设可得2×|b-a|=,

所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)

设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).

当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)

教师用书专用(3-6)

3.(2018湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

(1)求曲线C的方程;

(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

图1

图2